Условие
В остроугольном треугольнике $ABC$ с высотой $AH=h$ проведена прямая через центры $O$ и $I$ описанной и вписанной окружностей. Эта прямая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $N$ соответственно, причем около четырехугольника $BFNC$ можно описать окружность. Найдите сумму расстояний от ортоцентра треугольника $ABC$ до его вершин.
Решение
Из вписанности четырехугольника $BNFC$ следует, что $\angle ONA=\angle B$. С другой стороны, $\angle OAC=\pi/2-\angle B$. Поэтому $AO\perp OI$. Опустим перпендикуляр $IT$ на $AH$. Так как $AI$ – биссектриса угла $OAH$, прямоугольные треугольники $AOI$ и $ATI$ равны, т.е. $AT=AO=R$ и $h=AH=R+r$, где $R$ и $r$ – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$. Известно, что сумма расстояний от $O$ до сторон треугольника равна $R+r$, а сумма расстояний от ортоцентра до вершин вдвое больше, откуда и получаем ответ.
Ответ
$2h$.
Источники и прецеденты использования
