Условие
В треугольнике $ABC$ $AH_1$ и $BH_2$ – высоты; касательная к описанной окружности в точке $A$ пересекает $BC$ в точке $S_1$, а касательная в точке $B$ пересекает $AC$ в точке $S_2$; $T_1$ и $T_2$ – середины отрезков $AS_1$ и $BS_2$. Докажите, что $T_1T_2$, $AB$ и $H_1H_2$ пересекаются в одной точке.
Решение
Очевидно, что точка $T_1$ лежит на средней линии $B_0C_0$ треугольника $ABC$, а прямая $T_1A$ касается окружности $AB_0C_0$. Значит, $T_1A^2=T_1B_0\cdot T_1C_0$. Но точки $B_0$, $C_0$ лежат на окружности Эйлера треугольника $ABC$, следовательно, $T_1$ лежит на радикальной оси этой окружности и описанной окружности треугольника. Проведя аналогичное рассуждение для точки $T_2$, получаем, что $T_1T_2$ – радикальная ось описанной окружности и окружности Эйлера. Поскольку точки $A$, $B$, $H_1$, $H_2$ лежат на одной окружности, прямые $AB$ и $H_1H_2$ являются радикальными осями этой окружности с описанной окружностью и окружностью Эйлера соответственно. Ясно, что три радикальные оси пересекаются в одной точке.
Источники и прецеденты использования
