Условие
Даны три окружности. Первая и вторая пересекаются в точках $A_0$ и $A_1$, вторая и третья – в точках $B_0$ и $B_1$, третья и первая – в точках $C_0$ и $C_1$. Пусть $O_{i,j,k}$ – центр описанной окружности треугольника $A_i B_j C_k$. Через все пары точек вида $O_{i,j,k}$ и $O_{1-i,1-j,1-k}$ провели прямые. Докажите, что эти 4 прямые пересекаются в одной точке или параллельны.
Решение
Пусть $O$ – радикальный центр данных окружностей. Если $O$ лежит вне окружностей, то существует окружность с центром $O$, перпендикулярная трем данным, и при инверсии относительно нее каждая из данных окружностей переходит в себя. Соответственно эта инверсия меняет местами точки $A_0$ и $A_1$, $B_0$ и $B_1$, $C_0$ и $C_1$, а значит, и окружности $A_iB_jC_k$ и $A_{1-i}B_{1-j}C_{1-k}$. Поэтому прямые, соединяющие центры таких пар окружностей, проходят через $O$.
Если же $O$ лежит внутри данных окружностей, то их можно перевести в себя композицией инверсии и центральной симметрии с центром $O$. Следовательно, и в этом случае все четыре прямые проходят через $O$.
Источники и прецеденты использования
