|
|
 |
Условие
Четырехугольник $ABCD$, вписанный в окружность $\omega$, таков что $AD=BD=AC$. Точка $P$ движется по $\omega$. Прямые $AP$ и $DP$ пересекают прямые $CD$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $Q$. Найдите геометрическое место точек $Q$.Решение
Пусть $S$ – точка пересечения $AC$ и $BD$, $k$ – окружность, проходящая через $B$, $C$ и касающаяся прямых $AB$, $CD$. Тогда $S$ – центр внутренней гомотетии окружностей $k$ и $\omega$ (поскольку касательная к $\omega$ в точке $D$ параллельна $AB$). Пусть луч $SP$ пересекает $k$ в точке $Q'$. Докажем, что прямые $AP$, $BQ'$ и $CD$ пересекаются в одной точке. Тогда аналогичное утверждение будет верно для прямых $CQ'$, $DP$ и $AB$ и, следовательно, $Q'$ совпадет с $Q$.
Пусть $SP$ вторично пересекает $\omega$ в точке $R$, прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $T$, а прямая $BD$ вторично пересекает $k$ в точке $U$. Пусть также $BQ'$ и $AP$ пересекают $CD$ в точках $E'$ и $E''$ соответственно. Чтобы доказать, что $E'$ и $E''$ совпадают, используем двойные отношения.
Имеем $(C,D,T,E')=(BC,BD,BT,BE')=(C,U,B,Q')=(A,B,D,R)=(C,D,B,P)=(AC,AD,AB,AP)=(C,D,T,E'')$ (второе равенство получено проекцией из $B$ на $k$, третье гомотетией между $k$ и $\omega$ с центром $S$), ч.т.д.
