Задача 66807

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фролов И.И.

В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, а диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ пересекаются в одной точке. Обозначим через $l_i$ радикальную ось окружностей $A_iA_{i+1}A_{i-2}$ и $A_iA_{i-1}A_{i+2}$ (мы считаем, что точки $A_i$ и $A_{i+6}$ совпадают). Докажите, что прямые $l_i$, $i=1,\ldots,6$, пересекаются в одной точке.

Решение

Зафиксируем точки $A_1,\ldots, A_5$ и будем двигать $A_6$ по прямой, проходящей через $A_3$ и точку пересечения диагоналей четырехугольника $A_1A_2A_4A_5$. Заметим, что центр $O$ окружности $A_1A_2A_5$ при этом фиксирован, а центр $O'$ окружности $A_1A_3A_6$ движется по серединному перпендикуляру к отрезку $A_1A_3$, причем соответствие между $A_6$ и $O'$ проективно (так как $\angle O'A_1A_6=\frac{\pi}{2}-\angle A_6A_3A_1=\operatorname{const}$). Поскольку радикальная ось $l_1$ перпендикулярна прямой $OO'$, соответствие между $A_6$ и $l_1$ также проективно, значит, проективно и соответствие между вращающимися вокруг точек $A_1$ и $A_2$ прямыми $l_1$ и $l_2$. Следовательно, точка пересечения этих прямых будет двигаться по некоторой конике. Поскольку обе прямые совпадают с $A_1A_2$, когда $A_6$ попадает на окружность $A_1A_2A_3$, эта коника распадается на $A_1A_2$ и еще одну прямую, которая, очевидно, проходит через $A_3$. Кроме того, когда $A_6$ попадает на окружность $A_2A_3A_5$, точка пересечения лежит на $l_3$, следовательно, она лежит на $l_3$ и при остальных положениях $A_6$. Таким образом, $l_1$, $l_2$ и $l_3$ пересекаются в одной точке. Аналогично получаем, что три оставшихся радикальных оси проходят через ту же точку.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
класс
Класс	9
задача
Номер	9.8