|
|
 |
Условие
Вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ касается его сторон $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Точки $X,Y$ на $\omega$ таковы, что $\angle BXC=\angle BYC=90^\circ$. Докажите, что прямые $EF$ и $XY$ пересекаются на средней линии треугольника $ABC$.Решение 1
Пусть $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон треугольника, прямая $EF$ пересекает $B_0C_0$ в точке $Z$, а прямые $A_0B_0$ и $A_0C_0$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Тогда $M$ и $N$ являются проекциями вершин $C$ и $B$ на биссектрисы углов $B$ и $C$ соответственно, следовательно, $M$ и $N$ лежат на окружности $BXYC$. Кроме того, поскольку $A_0C_0\parallel AC$ и $A_0B_0\parallel AB$, то $\frac{ZE}{ZN}=\frac{ZB_0}{ZC_0}=\frac{ZM}{ZF}$, то есть степени $Z$ относительно окружности $BXYC$ и вписанной окружности равны, а, значит, $Z$ лежит на $XY$.Решение 2
Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, $H$ – ортоцентр треугольника $BIC$, $k$ – окружность с диаметром $IH$, а $\Gamma$ – окружность с диаметром $BC$. Очевидно, что $XY$ – радикальная ось окружностей $\omega$ и $\Gamma$.
Пусть $K$ и $L$ – проекции $B$ и $C$ на прямые $CI$ и $BI$ соответственно. Известно, что $K$ и $L$ лежат на прямой $EF$. Следовательно, $EF$ – радикальная ось окружностей $k$ и $\Gamma$.
Осталось доказать, что средняя линия $\ell$ треугольника $ABC$, противолежащая вершине $A$ является радикальной осью $k$ и $\omega$.
Пусть $M$ и $N$ – проекции $A$ на прямые $BI$ и $CI$ соответственно. Известно, что $M$ и $N$ лежат на прямой $\ell$. Покажем, что степени $M$ относительно $k$ и $\omega$ равны. Тогда аналогично получим, что равны степени $N$ относительно этих окружностей, что и завершит решение задачи.
Заметим, что поляра $EF$ точки $A$ относительно $\omega$ проходит через $L$. Значит, поляра $L$ относительно $\omega$ проходит через $A$. С другой стороны, эта поляра перпендикулярна $IL$. Следовательно, она совпадает с прямой $AM$. соответственно поляра $M$ относительно $\omega$ совпадает с прямой $CL$. Пусть $MP$ и $MQ$ – касательные из $M$ к $\omega$. Тогда $P$ и $Q$ лежат на прямой $CL$. Следовательно, $ML\cdot MI=MP^2$ и степени $M$ относительно $k$ и $\omega$ равны.
