Условие
В пространстве даны несколько точек и несколько плоскостей. Известно, что через любые две точки проходят ровно две плоскости, а каждая плоскость содержит не меньше четырех точек. Верно ли, что все точки лежат на одной прямой?
Решение
Рассмотрим конфигурацию из 12 точек – середин ребер куба $ABCDA'B'C'D'$ и 16 плоскостей, четыре из которых проходят через центр куба и перпендикулярны его диагоналям (сечения куба этими плоскостями являются правильными шестиугольниками), а остальные проходят через середины четырех ребер, смежных с одним ребром куба (например, ребер $AB$, $BC$, $A'B'$ и $B'C'$). Очевидно, что каждая плоскость содержит не меньше четырех точек. Кроме того, через любые две точки проходят ровно две плоскости: середины любых двух перпендикулярных ребер лежат в одном прямоугольном и одном шестиугольном сечении, середины двух параллельных ребер, лежащих в одной грани, – в двух прямоугольных, а середины двух противоположных ребер куба – в двух шестиугольных сечениях.
Ответ
Нет.
Источники и прецеденты использования
