|
|
 |
Условие
Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по
олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары;
выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их победители играют финальную партию).
Через несколько лет оказалось, что каждый с каждым сыграл ровно один раз.
Докажите, что
а) каждый побывал в полуфинале более одного раза;
б) каждый побывал в финале.
Решение
По условию каждый сыграл 7 партий, а всего было сыграно 8⋅7:2=28 партий. Поскольку каждый год играется 7 партий, кубок разыгрывался 4 раза.
а) Игрок, сыгравший в полуфинале не более одного раза, за 4 года сыграл не более 3+3⋅1=6 партий, что противоречит условию.
б) Всего в четырёх финалах было 2⋅4=8 мест. Если кто-то не играл в финале, то кто-то другой должен был сыграть в финале как минимум дважды. Но тогда он сыграл не меньше 2⋅3+2⋅1=8 партий, что противоречит условию.
