Задача 66867
|
|
 |
Условие
Дан равносторонний треугольник со стороной $d$ и точка $P$, расстояния от которой до вершин треугольника равны положительным числам $a$, $b$ и $с$. Докажите, что найдётся равносторонний треугольник со стороной $a$ и точка $Q$, расстояния от которой до вершин этого треугольника равны $b$, $с$ и $d$.Решение
Пусть $A$, $B$, $C$ — вершины данного треугольника, такие, что $AP=a$, $BP=b$, $CP = c$. Пусть $F$ — образ точки $P$ при повороте вокруг $A$ на $60^\circ$, переводящем $C$ в $B$. Тогда треугольник $APF$ — равносторонний со стороной $a$, и отрезок $FB$ является образом отрезка $PC$ при этом повороте, откуда $FB=PC=c$. При этом $AB=d$, $PB=b$, и, значит, треугольник $APF$ вместе с точкой $B$ образуют нужную конфигурацию.
