|
|
 |
Условие
Даны $n$ натуральных чисел. Боря для каждой пары этих чисел записал на чёрную доску их среднее арифметическое, а на белую доску — их среднее геометрическое,
и для каждой пары хотя бы одно из этих двух средних было целым. Докажите, что хотя бы на одной из досок все числа целые.
Решение
Пусть на чёрной доске не все числа целые. Тогда среди исходных чисел есть чётные и нечётные. Пусть $a$ — любое из чётных исходных чисел, $b$ — любое из нечётных. По условию их среднее геометрическое — целое число, то есть их произведение — полный квадрат. Если взять любые два чётных исходных числа $a_1$ и $a_2$, то тогда $a_1b$ и $a_2b$ — полные квадраты, откуда $a_1a_2b^2$ — полный квадрат, а значит, и $a_1a_2$ — полный квадрат. Аналогично, произведение любых двух нечётных исходных чисел — полный квадрат. Но тогда на белой доске все числа целые.
