Задача 66884
|
|
 |
Условие
Окружности $\alpha$ и $\beta$ с центрами в точках $A$ и $B$ соответственно пересекаются в точках $C$ и $D$. Отрезок $AB$ пересекает окружности $\alpha$ и $\beta$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Луч $DK$ вторично пересекает окружность $\beta$ в точке $N$, а луч $DL$ вторично пересекает окружность $\alpha$ в точке $M$. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника $KLMN$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ABC$.Решение
Достаточно доказать, что прямая $KM$ проходит через центр вписанной окружности треугольника $ABC$ (для прямой $LN$ доказательство аналогично). Обозначим через $I$ центр описанной окружности треугольника $CKL$. Пусть $\angle CML = \varphi$. Тогда $\angle CAK=\frac{1}{2}\angle CAD=\angle CMD=\varphi$ и $\angle CIL = 2 \angle CKA = 180^\circ-\angle CAK=180^\circ-\varphi,$ откуда точки $M,A,L,I,C$ лежат на одной окружности. Значит, $I$ — середина дуги $CL$, откуда $AI$ — биссектриса угла $BAC$. Аналогично $BI$ — биссектриса угла $ABC$, следовательно, $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Так как $I$ — середина дуги $CL$, а $K$ — середина дуги $CD$, точки $I$ и $K$ лежат на биссектрисе угла $CMD$, что и требовалось.
