Задача 66896

Темы:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

При каких натуральных $n$ найдутся $n$ последовательных натуральных чисел, произведение которых равно сумме (может быть, других) $n$ последовательных натуральных чисел?

Решение

Произведение $n$ последовательных целых чисел делится на $n$, значит, и равная ей сумма целых чисел делится на $n$. Поэтому среднее арифметическое этих чисел – целое число. Значит, $n$ нечётно. Вот пример для $n = 2m + 1$: $((2m)! - m) + ((2m)! - m + 1) + \ldots + ((2m)! + m) = (2m + 1)\cdot(2m)! = n!$.

Ответ

При нечётных $n$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	42
Дата	2020/21
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3