Задача 66897

Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Толпыго А.К.

Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение $[x^2] + px + q = 0$ при $p \ne 0$ иметь более 100 корней? ($[x^2]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^2$.)

Решение

Рассмотрим, например, уравнение $[x^2] - 100x + 2500 = 0$. Оно имеет 199 корней вида $50 +\frac{k}{100}$ (где $k = - 99$, $- 98, \ldots, 99$). Действительно, $$\left[\left(50 +\frac{k}{100}\right)^2\right]=\left[2500+k+\left(\frac{k}{100}\right)^2\right]=2500+k=100\cdot\left(50 +\frac{k}{100}\right)-2500.$$

Ответ

Может.

Замечания

Идеология. Прямая $y = 100x - 2500$ касается параболы $y = x^2$ в точке $(50, 2500)$.

Замечание. Поясним неформально, как можно было придумать решение задачи.

Поскольку $[x^2] = x^2 - \{x^2\}$, исходное уравнение можно переписать в виде $x^2 + px + q = \{x^2\}$. Будем решать его графически: искать пересечения графиков параболы и дробной части квадрата. График дробной части $y = \{x\}$ представляет собой ряд равномерно идущих наклонных полуинтервалов:

Аналогично, график $y = \{x^2\}$ состоит из кусочков параболы: мы разрезаем параболу $y = x^2$ горизонтальными прямыми вида $y = n$, где $n = 0, 1, 2, \ldots$, на кусочки и каждый кусочек параллельно сдвигаем вниз к оси абсцисс. Но эти кусочки идут уже не равномерно, а «чем дальше от нуля, тем всё чаще» (ведь при стремлении $x$ к бесконечности ордината возрастает на 1 при увеличении $x$ на всё меньшее (стремящееся к 0) число:

Но тогда любое уравнение вида $(x - a)^2 = \{x^2\}$ с достаточно большим a годится: в окрестности своей вершины парабола $y = (x - a)^2$ пересечёт много кусочков графика $y = \{x^2\}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	42
Дата	2020/21
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4