Задача 66898

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Пусть $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, точка $M$ – середина стороны $AC$. Прямая $BO$ пересекает высоты $AA_1$ и $CC_1$ в точках $H_a$ и $H_c$ соответственно. Описанные окружности треугольников $BH_aA$ и $BH_cC$ вторично пересекаются в точке $K$. Докажите, что $K$ лежит на прямой $BM$.

Решение 1

Пусть $BD$ – диаметр описанной окружности треугольника $ABC$. Поскольку $\angle ADB = \angle C$, имеем: $$\angle CAH_a = \angle CAA_1 = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - \angle ADB = \angle ABH_a.$$ Следовательно, сторона $AC$ касается описанной окружности треугольника $BH_aA$. Аналогично она касается описанной окружности треугольника $BH_сС$. Как известно, радикальная ось $BK$ этих двух окружностей проходит через середину $M$ отрезка $AC$ их общей касательной.

Решение 2

Пусть $B'$ – точка, симметричная точке $B$ относительно точки $M$, а описанная окружность треугольника $ACB'$ пересекает медиану $BM$ в точке $K$. Тогда внешний угол $AKB'$ треугольника $AKB$ равен $\angle ACB' = \angle A$ (см. далее рисунок слева). Но и внешний угол $BH_aA_1$ треугольника $AH_aB$ равен $\angle BAA_1 + \angle ABO = 90^\circ - \angle B + 90^\circ - \angle C = \angle A$ (см. далее рисунок справа). Поэтому $\angle AKB = \angle AH_aB$, то есть точка $K$ лежит на описанной окружности треугольника $BH_aA$. Аналогично она лежит на описанной окружности треугольника $BH_сС$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	42
Дата	2020/21
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	5