Задача 66914

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Акопян А.В.

Четырехугольник $ABCD$ – вписанный. Окружность, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Пусть прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ – в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельна $CD$.

Решение

Из вписанности четырехугольников $ABCD$ и $ABEF$ получаем, что $\angle CBD=\angle CAD$ и $\angle EBF=\angle EAF$. Значит, $\angle PBQ=\angle PAQ$, т.е. четырехугольник $ABPQ$ тоже вписанный. Следовательно, прямые $CD$ и $PQ$ параллельны, так как обе они антипараллельны $AB$ относительно прямых $AP$ и $BQ$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2020
Заочный тур
задача
Номер	2 [8 кл]