Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66918
Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках P и Q. Пусть O – точка пересечения общих внешних касательных к ω1 и ω2. Прямая, проходящая через точку O, пересекает ω1 и ω2 в точках A и B соответственно, так, что эти две точки лежат по одну сторону от PQ. Прямая PA повторно пересекает ω2 в точке C, а прямая QB повторно пересекает ω1 в точке D. Докажите, что O, C и D лежат на одной прямой.

Решение

Из вписанности четырехугольников ADPQ и BPCQ следует, что DAC=DQP=BCP, т.е. ADBC. Поскольку точка O является центром гомотетии данных окружностей и A при этой гомотетии переходит в B, то D переходит в C.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2020
Заочный тур
задача
Номер 6 [8-9 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .