Задача 66921

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Изогональное сопряжение ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Филипповский Г.Б.

Постройте треугольник $ABC$ по вершине $A$, центру описанной окружности $O$ и прямой Эйлера, если известно, что прямая Эйлера отсекает на сторонах $AB$ и $AC$ равные отрезки от вершины $A$.

Решение

Из условия следует. что прямая Эйлера параллельна внешней биссектрисе угла $A$. Так как $AO$ и $AH$ – изогонали, то $AO=AH$. Значит, мы можем найти $H$ как вторую точку пересечения окружности с центром $A$ и радиусом $AO$ с прямой Эйлера. Пусть теперь $AH$ вторично пересекает описанную окружность в точке $D$. Тогда $B$ и $C$ – точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $HD$ с описанной окружностью.

Замечания

Так как в любом треугольнике $AH$ равно удвоенному расстоянию от $O$ до $BC$, а в нашем треугольнике $AH$ равно радиусу описанной окружности, угол $A$ равен $60$ или $120$ градусам. Легко видеть, что при $\angle A=60^{\circ}$ прямая Эйлера параллельна внешней биссектрисе угла $A$, а при $\angle A=120^{\circ}$ – внутренней. Таким образом, в данном треугольнике $\angle A=60^{\circ}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2020
Заочный тур
задача
Номер	9 [8-9 кл]