Условие
Cерединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает прямые $BC$, $AB$ в точках $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Точки $O$, $O_{1}$ – центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $A_{1}BC_{1}$ соответственно. Докажите, что $C_{1}O_1\perp AO$.
Решение
Рассмотрим случай остроугольного треугольника $ABC$, остальные случаи аналогичны. Так как
$$\angle AOC=2\angle ABC=2(180^{\circ}-\angle A_1BC_1)=\angle A_1O_1C_1,$$
треугольники $AOC$ и $C_1O_1A_1$ подобны и одинаково ориентированы (см. рис.). Так как их соответственные стороны $AC$ и $A_1C_1$ перпендикулярны, $AO$ и $C_1O_1$ также перпендикулярны.
Источники и прецеденты использования
