ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66955
УсловиеТочка P лежит внутри выпуклого четырехугольника ABCD. Общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников PAB и PCD пересекаются в точке Q, а общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников PBC и PAD – в точке R. Докажите, что P, Q, R лежат на одной прямой.
РешениеОбозначим вписанные окружности треугольников APB, BPC, CPD, DPA через ω1, ω2, ω3, ω4 соответственно. Будем считать, что P не совпадает с точкой пересечения AC и BD, для которой утверждение задачи очевидно. Лемма 1. Пусть Γ1 – произвольная окружность, вписанная в угол APB, Γ3 – произвольная окружность, вписанная в угол CPD, X – точка пересечения общих внутренних касательных к Γ1 и Γ3. Тогда точки P, Q, X лежат на одной прямой. Доказательство. Пусть T – точка пересечения общих внутренних касательных к Γ1 и ω3. По теореме о трех центрах гомотетии P, Q, T лежат на одной прямой. Причем, поскольку P не совпадает с точкой пересечения AC и BD, прямые PQ, PT определены однозначно и совпадают. Аналогично получаем, что точки P, T, X лежат на одной прямой, причем P≠X. Лемма доказана. Аналогично получаем, что для любых окружностей Γ2, Γ4, вписанных соответственно в углы BPC, DPA, точка Y пересечения их общих внутренних касательных лежит на прямой PR. Таким образом, для решения задачи достаточно найти такие четыре окружности Γ1, Γ2, Γ3, Γ4, что точки P, X, Y лежат на одной прямой. Возьмем на лучах PA, PB, PC, PD такие точки A′, B′, C′, D′, что PA′=PB′=PC′=PD′, и рассмотрим окружности Γ1, Γ2, Γ3, Γ4, касающиеся PA, PB, PC, PD в точках A′, B′, C′, D′. Лемма 2. Пусть прямые A′C′ и B′D′ пересекаются в точке Z. Тогда точки X, Y и Z совпадают. Доказательство. Покажем, что X совпадает с Z, для Y доказательство аналогично. Пусть прямая A′C′ вторично пересекает Γ1 и Γ3 в точках U и V соответственно, а прямая B′D′ вторично пересекает Γ3 в точке W. Покажем, что треугольники A′UB′ и VC′W гомотетичны. Рассмотрим случай, когда U лежит на большей из дуг A′B′, V – на меньшей из дуг C′D′, W – на большей из дуг C′D′ (см. рис.), другие конфигурации разбираются аналогично. Стороны A′U и C′V лежат на одной прямой. Далее, ∠B′A′C′=∠B′D′C′=π−∠C′D′W=π−∠C′VW (первое равенство следует из вписанности четырехугольника A′B′C′D′ в окружность с центром P), значит A′B′∥VW. Наконец, ∠UB′Z=π−∠B′UZ−∠B′ZU=π−∠A′UB′−∠A′ZB′=π−∠A′B′P−∠A′ZB′=∠C′D′P=∠C′WD′. Следовательно, B′U∥C′W. Таким образом, треугольники A′UB′ и VC′W гомотетичны. Центр гомотетии – точка Z является также центром внутренней гомотетии окружностей Γ1 и Γ3. Лемма доказана. Из Леммы 2 сразу следует утверждение задачи. Замечания1. Из решения видно, что в условии задачи вписанные окружности треугольников APB, BPC, CPD, DPA можно заменить на любые четыре окружности, вписанные в углы APB, BPC, CPD, DPA. 2. Лемму 2 можно доказать по-другому. Пусть K, L, M, N – центры Γ1, Γ2, Γ3, Γ4 соответственно. Тогда четырехугольник KLMN описан вокруг окружности Ω с центром P и радиусом PA′=PB′=PC′=PD′. Его диагонали KM, LN и хорды A′C′, B′D′ пересекаются в одной точке, которая делит каждую диагональ в отношении, равном отношению касательных к Ω из ее концов. Это эквивалентно лемме 2. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке