Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66955
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Tran Quang Hung

Точка P лежит внутри выпуклого четырехугольника ABCD. Общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников PAB и PCD пересекаются в точке Q, а общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников PBC и PAD – в точке R. Докажите, что P, Q, R лежат на одной прямой.

Решение

Обозначим вписанные окружности треугольников APB, BPC, CPD, DPA через ω1, ω2, ω3, ω4 соответственно. Будем считать, что P не совпадает с точкой пересечения AC и BD, для которой утверждение задачи очевидно.

Лемма 1. Пусть Γ1 – произвольная окружность, вписанная в угол APB, Γ3 – произвольная окружность, вписанная в угол CPD, X – точка пересечения общих внутренних касательных к Γ1 и Γ3. Тогда точки P, Q, X лежат на одной прямой.

Доказательство. Пусть T – точка пересечения общих внутренних касательных к Γ1 и ω3. По теореме о трех центрах гомотетии P, Q, T лежат на одной прямой. Причем, поскольку P не совпадает с точкой пересечения AC и BD, прямые PQ, PT определены однозначно и совпадают. Аналогично получаем, что точки P, T, X лежат на одной прямой, причем PX. Лемма доказана.

Аналогично получаем, что для любых окружностей Γ2, Γ4, вписанных соответственно в углы BPC, DPA, точка Y пересечения их общих внутренних касательных лежит на прямой PR.

Таким образом, для решения задачи достаточно найти такие четыре окружности Γ1, Γ2, Γ3, Γ4, что точки P, X, Y лежат на одной прямой.

Возьмем на лучах PA, PB, PC, PD такие точки A, B, C, D, что PA=PB=PC=PD, и рассмотрим окружности Γ1, Γ2, Γ3, Γ4, касающиеся PA, PB, PC, PD в точках A, B, C, D.

Лемма 2. Пусть прямые AC и BD пересекаются в точке Z. Тогда точки X, Y и Z совпадают.

Доказательство. Покажем, что X совпадает с Z, для Y доказательство аналогично. Пусть прямая AC вторично пересекает Γ1 и Γ3 в точках U и V соответственно, а прямая BD вторично пересекает Γ3 в точке W. Покажем, что треугольники AUB и VCW гомотетичны.

Рассмотрим случай, когда U лежит на большей из дуг AB, V – на меньшей из дуг CD, W – на большей из дуг CD (см. рис.), другие конфигурации разбираются аналогично.

Стороны AU и CV лежат на одной прямой.

Далее, BAC=BDC=πCDW=πCVW (первое равенство следует из вписанности четырехугольника ABCD в окружность с центром P), значит ABVW.

Наконец, UBZ=πBUZBZU=πAUBAZB=πABPAZB=CDP=CWD. Следовательно, BUCW.

Таким образом, треугольники AUB и VCW гомотетичны. Центр гомотетии – точка Z является также центром внутренней гомотетии окружностей Γ1 и Γ3. Лемма доказана.

Из Леммы 2 сразу следует утверждение задачи.

Замечания

1. Из решения видно, что в условии задачи вписанные окружности треугольников APB, BPC, CPD, DPA можно заменить на любые четыре окружности, вписанные в углы APB, BPC, CPD, DPA.

2. Лемму 2 можно доказать по-другому. Пусть K, L, M, N – центры Γ1, Γ2, Γ3, Γ4 соответственно. Тогда четырехугольник KLMN описан вокруг окружности Ω с центром P и радиусом PA=PB=PC=PD. Его диагонали KM, LN и хорды AC, BD пересекаются в одной точке, которая делит каждую диагональ в отношении, равном отношению касательных к Ω из ее концов. Это эквивалентно лемме 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
Заочный тур
задача
Номер 19 [10-11 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .