Задача 66981
|
|
 |
Условие
Секущая пересекает первую окружность в точках $A_1, B_1$, а вторую – в точках $A_2, B_2$. Вторая секущая пересекает первую окружность в точках $C_1, D_1$, а вторую – в точках $C_2, D_2$. Докажите, что точки $A_1C_1\cap B_2D_2$, $A_1C_1\cap A_2C_2$, $A_2C_2\cap B_1D_1$, $B_2D_2\cap B_1D_1$ лежат на одной окружности, соосной с данными двумя.Решение
Пусть $X$ – точка пересечения прямых $A_1C_1$ и $A_2C_2$. Тогда степень точки относительно первой окружности равна $XA_1\cdot XC_1$, а относительно второй – $XA_2\cdot XC_2$. Отношение этих степеней равно $$ \frac{XA_1}{XA_2} \cdot \frac{XC_1}{XC_2}=\frac{\sin\angle B_2A_2C_2}{\sin\angle B_1A_1C_1} \cdot \frac{\sin\angle D_2C_2A_2}{\sin\angle D_1C_1A_1}=\frac{A_2D_2\cdot B_2C_2}{R_2^2}:\frac{A_1D_1\cdot B_1C_1}{R_1^2}. $$ Такие же отношения степеней получаются для трех остальных точек пересечения. Но геометрическим местом точек с фиксированным отношением степеней является окружность, соосная с двумя данными.
