|
|
 |
Условие
Хозяйка испекла квадратный торт и отрезала от него несколько кусков. Первый разрез проведён параллельно стороне исходного квадрата от края до края. Следующий разрез проведён в оставшейся части от края до края перпендикулярно предыдущему разрезу, далее аналогично (сколько-то раз). Все отрезанные куски имеют равную площадь. Может ли оставшаяся часть торта быть квадратом?
Решение
Часть, оставшуюся после очередного разрезания, назовём остатком. Длиной остатка назовём размер той его стороны, по которой он отрезан, а шириной – размер другой стороны. Длиной отрезаемого прямоугольника (куска) также будем считать размер стороны, по которой он отрезан, а шириной – размер другой стороны. Индукцией по номеру разрезания покажем, что ширина остатка всегда меньше его длины (что и решает задачу).
После первого разрезания это очевидно. Пусть после $i$-го разрезания длина остатка и отрезанного куска равна $l_i$, ширина остатка и отрезанного куска равна соответственно $w_i$ и $z_i$; положим также $l_0$ и $w_0$ равными стороне исходного квадрата). Пусть при всех $1 \le j \le i$ было $l_j > w_j$. Имеем $$l_i=w_{i-1}\le l_{i-1} \quad (*)$$ (равенство выполнено лишь при $i=1$). Площади $i$-го и $(i+1)$-го кусков одинаковы по условию, т.е. $l_i z_i = l_{i+1} z_{i+1} = w_i z_{i+1} < l_i z_{i+1}$, откуда $$z_i < z_{i+1} \quad(**).$$ С другой стороны, $z_i = l_{i-1} - w_i$, $z_{i+1} = l_i - w_{i+1}$. С учётом $(*)$ и $(**)$ получаем: $w_{i+1} < w_i = l_{i+1}$, ч.т.д.
Ответ
Нет, не может.
