|
|
 |
Условие
У входа на рынок есть двухчашечные весы без гирек, которыми каждый может воспользоваться по 2 раза в день. У торговца Александра есть 3 неотличимые внешне монеты весом 9, 10 и 11 грамм.— Как жаль, что я не могу за 2 взвешивания разобраться, какая из моих монет сколько весит!
— Да! — поддакнул его сосед Борис. — У меня совершенно та же ситуация — тоже 3 неотличимые на вид монеты весом 9, 10 и 11 грамм!
Докажите, что если они объединят усилия, то за отведённые им 4 взвешивания определят веса всех шести монет.
Решение
Обозначим монеты торговцев $A_1$, $A_2$, $A_3$ и $B_1$, $B_2$, $B_3$ соответственно и отождествим названия монет с их весами. Первыми двумя взвешивания взвесим $A_1$ c $B_1$ и $A_2$ c $B_2$.1) Для начала рассмотрим случай двух равенств: $A_1= B_1$ и $A_2 = B_2$. В этом случае также $A_3 = B_3$. Тогда взвесим $A_1$ и $A_2$ с $A_3$ и $B_3$. Возможны только три случая: $9 + 10 < 11 + 11$, $9 + 11 = 10 + 10$ и $10 + 11 > 9 + 9$. Таким образом мы однозначно определяем вес монет $A_3$ и $B_3$, а также веса $A_1 = B_1$ и $A_2 = B_2$ с точностью до порядка. Тогда последним взвешиванием достаточно взвесить $A_1$ и $A_2$ между собой.
В остальных случаях взвесим также $A_3$ и $B_3$ между собой. Без ограничения общности (с точностью до переименования монет) возможны еще два случая.
2) $A_1 < B_1$, $A_2 < B_2$, $A_3 > B_3$. В этом случае монеты $A_1$ и $A_2$ не могут весить 11 граммов, значит, они весят 9 и 10 граммов, а монета $A_3$ – 11 граммов. Аналогично монеты $B_1$ и $B_2$ весят 10 и 11 граммов, а монета $B_3$ – 9 граммов. При этом первые два неравенства – это $9 < 10$ и $10 < 11$ с точностью до порядка. Поэтому последним взвешиванием взвесим $A_1$ и $A_2$ между собой и определим веса всех монет.
3) $A_1 < B_1$, $A_2 > B_2$, $A_3 = B_3$. Заметим, что в этом случае $A_1 = B_2$ и $A_2 = B_1$. Тогда по аналогии с первым случаем взвесим $A_1$ и $A_2$ с $A_3$ и $B_3$, в результате определим вес монет $A_3$ и $B_3$ а также веса $A_1 = B_2$ и $A_2 = B_1$ с точностью до порядка. Но в этом случае нам уже известно, что $A_1 = B_2 < A_2 = B_1$, поэтому и эти веса определяются однозначно.
Другие случаи невозможны, так как суммы весов монет $A$ и монет $B$ равны.
