Задача 67033

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Горяшин Д.В.

Некоторые неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют равенству $a+b+c=2\sqrt{abc}$. Докажите, что $bc\geqslant b+c$.

Решение 1

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства и выделим полный квадрат: $$a-2\sqrt{a}\sqrt{bc}+b+c=(\sqrt{a}-\sqrt{bc}{)}^2+b+c-bc.$$ Следовательно, $bc=b+c+(\sqrt{a}-\sqrt{bc})^2\geqslant b+c.$

Решение 2

По неравенству о средних $a+bc \geqslant 2\sqrt{abc} =a +b +c$, откуда $bc\geqslant b+c$.

Решение 3

Если $a=0$, то $b=c=0$, и неравенство выполнено. Пусть $a>0$. В силу неравенства о средних имеем $a+b+c\geqslant 2\sqrt{a(b+c)}$. Тогда по условию $2\sqrt{abc}\geqslant 2\sqrt{a(b+c)}$, откуда, разделив на $2\sqrt{a}$ и возведя в квадрат, получаем требуемое неравенство.

Решение 4

Числа $a$, $b$ и $c$ неотрицательны, поэтому исходное равенство можно рассматривать как квадратное уравнение относительно $\sqrt{a}$: $(\sqrt{a})^2-2\sqrt{bc}\sqrt{a}+b+c=0$. По условию это уравнение имеет хотя бы одно решение, а значит, $D/4=bc-b-c\geqslant0$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2022
Номер	85
класс
Класс	11
задача
Номер	1