Условие
Некоторые неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют равенству $a+b+c=2\sqrt{abc}$. Докажите, что $bc\geqslant b+c$.
Решение 1
Перенесём все слагаемые в левую часть равенства и выделим полный квадрат:
$$a-2\sqrt{a}\sqrt{bc}+b+c=(\sqrt{a}-\sqrt{bc})^2+b+c-bc.$$ Следовательно,
$bc=b+c+(\sqrt{a}-\sqrt{bc})^2\geqslant b+c.$
Решение 2
По неравенству о средних $a+bc \geqslant 2\sqrt{abc} =a +b +c$, откуда $bc\geqslant b+c$.
Решение 3
Если $a=0$, то $b=c=0$, и неравенство выполнено. Пусть $a>0$. В силу неравенства о средних имеем $a+b+c\geqslant 2\sqrt{a(b+c)}$. Тогда по условию
$2\sqrt{abc}\geqslant 2\sqrt{a(b+c)}$, откуда, разделив на $2\sqrt{a}$ и возведя в квадрат, получаем требуемое неравенство.
Решение 4
Числа $a$, $b$ и $c$ неотрицательны, поэтому исходное равенство можно рассматривать как квадратное уравнение относительно $\sqrt{a}$: $(\sqrt{a})^2-2\sqrt{bc}\sqrt{a}+b+c=0$. По условию это уравнение имеет хотя бы одно решение, а значит, $D/4=bc-b-c\geqslant0$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
85 |
|
Год |
2022 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
1 |
