Задача 67035

Темы:    [ Многоугольники (прочее) ] [ Вычисление площадей ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12- угольника?

Решение

Рассмотрим 12-угольник $A_1A_2\ldots A_{12}$, удовлетворяющий условию задачи. У него десять сторон длины 1 и одна сторона длины 2. Обозначим через $x$ длину оставшейся стороны. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{A_1A_2}$, $\overrightarrow{A_2A_3}, \ldots, \overrightarrow{A_{12}A_1}$, а также коллинеарные им единичные векторы $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2, \ldots, \vec{e}_{12}$. Тогда для некоторых $i$ и $j$ имеет место равенство $$\vec{e}_1 +\ldots +2\vec{e}_i +\ldots +x\vec{e}_j +\ldots +\vec{e}_{12} =\vec{0}.$$ Помимо того, $$\vec{e}_1 +\vec{e}_7 =\vec{e}_2 +\vec{e}_8 =\ldots =\vec{e}_6 +\vec{e}_{12} =\vec{0},$$ поэтому $$\vec{e}_1 +\vec{e}_2 +\ldots +\vec{e}_{12} =\vec{0}.$$ Вычитая второе из полученных равенств из первого, получаем $\vec{e}_i +(x-1)\vec{e}_j = \vec{0}$. Это возможно лишь в случае, если $\vec{e}_i =-\vec{e}_j$ и $x =2$. Значит, в исходном 12-угольнике есть пара параллельных сторон длины 2.

В силу равенства всех углов и соответствующих сторон этот 12-угольник имеет ось симметрии (см. рисунок). Чтобы найти площадь, разобьём его на 4 трапеции и прямоугольник. Находим $A_3A_{12}=A_6A_9=1+\sqrt{3}$, $A_4A_{11}=A_5A_{10} =2+\sqrt{3}$, поэтому искомая площадь равна $$S=2\cdot(2+\sqrt{3})+\frac{\sqrt{3}\cdot(2+\sqrt{3}+1+\sqrt{3})}{2}+\frac{1+\sqrt{3}+1}{2}=8+4\sqrt{3}.$$

Ответ

$8+4\sqrt{3}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	85
Год	2022
класс
Класс	11
задача
Номер	3