Условие
В треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что $BH$ – биссектриса угла $ABO$. Отрезок из точки $O$, параллельный стороне $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Докажите, что $AH=AK$.
Решение
Пусть $D$ – точка, симметричная $H$ относительно $AC$. Так как $D$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, то $\angle ODB=\angle OBD=\angle HBA$. Следовательно, $OD\parallel AB$, т.е. $K$ лежит на $OD$ и $\angle HKA=\angle OKC=\angle BAC$. С другой стороны, $\angle CBO=\angle HBA=90^{\circ}-\angle A$, значит, $\angle ABC=3(90^{\circ}-\angle BAC)$, $\angle ACB=2\angle BAC-90^{\circ}$ и $\angle HAK=180^{\circ}-2\angle BAC$. Поэтому $\angle AHK=\angle BAC=\angle AKH$ и $AK=AH$.
Источники и прецеденты использования
