Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67086
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC точки O и H – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что BH – биссектриса угла ABO. Отрезок из точки O, параллельный стороне AB, пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AH=AK.

Решение

Пусть D – точка, симметричная H относительно AC. Так как D лежит на описанной окружности треугольника ABC, то ODB=OBD=HBA. Следовательно, ODAB, т.е. K лежит на OD и HKA=OKC=BAC. С другой стороны, CBO=HBA=90A, значит, ABC=3(90BAC), ACB=2BAC90 и HAK=1802BAC. Поэтому AHK=BAC=AKH и AK=AH.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2022
Заочный тур
задача
Номер 1 [8 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .