Условие
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CD$. На отрезках $AD$ и $CD$ построены равносторонние треугольники $AED$ и $CFD$, так что точка $E$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, что и $C$, а точка $F$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $CD$, что и $B$. Прямая $EF$ пересекает катет $AC$ в точке $L$. Докажите, что $FL=CL+LD$.
Решение
Из условия следует, что $FD=CD$, $DE=AD$ и $\angle FDE=\angle CDA$. Следовательно, треугольники $FDE$ и $CDA$ равны и $\angle FLC=60^{\circ}$. Отложим на луче $LC$ отрезок $LK=LF$. Так как треугольник $LFK$ равносторонний, то $FK=FL$ и $\angle KFL=\angle CFD=60^{\circ}$. Следовательно, $\angle KFC=\angle DFL$, т.е. треугольники $KFC$ и $LFD$ равны. Таким образом, $KC=LD$, что равносильно утверждению задачи.
Замечания
Утверждение задачи остается верным, если взять любой треугольник $ABC$ и любую точку $D$ на стороне $AB$.
Источники и прецеденты использования
