Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67088
Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. На отрезках AD и CD построены равносторонние треугольники AED и CFD, так что точка E лежит в той же полуплоскости относительно прямой AB, что и C, а точка F лежит в той же полуплоскости относительно прямой CD, что и B. Прямая EF пересекает катет AC в точке L. Докажите, что FL=CL+LD.

Решение

Из условия следует, что FD=CD, DE=AD и FDE=CDA. Следовательно, треугольники FDE и CDA равны и FLC=60. Отложим на луче LC отрезок LK=LF. Так как треугольник LFK равносторонний, то FK=FL и KFL=CFD=60. Следовательно, KFC=DFL, т.е. треугольники KFC и LFD равны. Таким образом, KC=LD, что равносильно утверждению задачи.

Замечания

Утверждение задачи остается верным, если взять любой треугольник ABC и любую точку D на стороне AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2022
Заочный тур
задача
Номер 3 [8 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .