Задача 67096

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Изогональное сопряжение ] [ Прямые, касающиеся окружностей (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Прокопенко Д.

В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$, точка $T$ такова, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $T$, повторно пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$. Докажите, что точки $K$ и $L$ равноудалены от прямой $AT$.

Решение

Заметим, что прямая $AT$ проходит через вершину правильного треугольника с основанием $BC$. Поскольку $\angle A=60^{\circ}$, эта вершина является точкой пересечения касательных к описанной окружности треугольника $ABC$ в точках $B$ и $C$, т.е. $AT$ – симедиана треугольника. С другой стороны, легко видеть, что треугольники $ABL$ и $ACK$ правильные, т.е. треугольники $ABC$ и $ALK$ симметричны относительно биссектрисы угла $A$ и $AT$ – медиана треугольника $AKL$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
Заочный тур
задача
Номер	11 [8-10 кл]