Условие
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?
Решение
Пусть $PQRS$ – трапеция, отношение оснований $PS$ и $QR$ которой меньше 2. На продолжениях боковой стороны $PQ$ за точки $P$ и $Q$ возьмем точки $A$ и $K$ соответственно так, что $PA=PQ=2QK$. На продолжениях боковой стороны $RS$ за точки $R$ и $S$ возьмем точки $M$ и $C$ соответственно так, что $CR=RS=2SM$. Пусть прямые $CK$ и $QR$ пересекаются в точке $B$, а прямые $AM$ и $PS$ – в точке $D$. Тогда легко видеть, что $AM=MD$, $BK=KC$, середины $N$, $L$ отрезков $AB$, $CD$ лежат на прямых $PS$, $QR$ соответственно и $QR:BL=PS:DN=PQ:AK=RS:CM=2/5$.
Ответ
Нет.
Замечания
Можно показать, что все четырехугольники, удовлетворяющие условию, строятся описанным способом и, следовательно, длина средней части составляет 2/5 длины всего отрезка.
Источники и прецеденты использования
