|
|
 |
Условие
Дан эллипс с фокусом $F$. Две перпендикулярные прямые, проходящие через $F$, пересекают эллипс в четырех точках. Касательные к эллипсу в этих точках образуют описанный вокруг эллипса четырехугольник. Докажите, что этот четырехугольник вписан в конику с фокусом $F$.Решение
Докажем более сильное утверждение: пусть два перпендикулярных луча с началом $F$ пересекаю эллипс в точках $A$, $B$. Тогда геометрическим местом точек пересечения касательных к эллипсу в $A$ и $B$ будет коника с фокусом $F$.
Первый способ. При полярном преобразовании с центром $F$ эллипс перейдет в окружность, а точки $A$, $B$ в две перпендикулярных касательных к этой окружности. Хорды, соединяющие точки касания, касаются концентрической окружности, поэтому при обратном преобразовании они перейдут в точки коники с фокусом $F$. Заметим, что это рассуждение остается верным, если вместо прямого взять произвольный постоянный угол $AFB$. При этом отношение эксцентриситетов исходного эллипса и полученной коники равно $\cos(\angle AFB/2)$.
Второй способ. Воспользуемся следующим фактом: пусть $AB$ – хорда эллипса, проходящая через фокус $F$, $C$ – точка пересечения касательных в точках $A$, $B$. Тогда $CF\perp AB$.
Сделаем проективное преобразование, переводящее эллипс в окружность, а $F$ в ее центр. Тогда $AB$ перейдет в диаметр окружности, $C$ в бесконечную точку, перпендикулярную этому диаметру, а прямая $CF$ в перпендикулярный диаметр. Точки пересечения касательных в концах этих двух диаметров лежат на концентрической окружности. При обратном преобразовании эта окружность перейдет в конику, а ее центр и бесконечная прямая в фокус и директрису этой коники.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2022 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 23 [10-11 кл] |
