|
|
 |
Условие
Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.Решение 1
Пусть $X$, $Y$ – проекции точки $A$ на прямые $BP_1$, $BP_2$. Так как углы $AP_1B$, $AP_2B$ не зависят от выбора прямой, произведения $AP_1\cdot AP_2$ и $AX\cdot AY$ принимают наибольшие значения одновременно. Поскольку точки $X$, $Y$ лежат на окружности с диаметром $AB$, то угол $XAY$, а значит, и длина отрезка $XY$ постоянны, следовательно, надо найти такое положение хорды $XY$, при котором расстояние от $A$ до нее максимально. Так как все хорды $XY$ касаются фиксированной окружности с центром в середине $AB$, максимальное расстояние достигается, когда точка касания находится на максимальном расстоянии от $A$. Построение соответствующей хорды очевидно.
Так как концы построенной хорды можно обозначить через $X$ и $Y$ двумя способами, мы получаем два положения прямой $P_1P_2$. При одном из них $BA$ является внутренней биссектрисой угла $P_1BP_2$, при другом – внешней. Если угол $P_1BP_2$ тупой, максимальное значение произведения $AP_1\cdot AP_2$ достигается в первом случае, если острый, во втором. При $\angle P_1BP_2=90^{\circ}$ значения произведений равны.
Решение 2
После инверсии с центром $A$ получаем следующую задачу:Даны точка $A$ и прямые $\ell_1$ и $\ell_2$. Нужно построить прямую, проходящую через $A$ и пересекающую $\ell_1$ и $\ell_2$ в точках $P_1$ и $P_2$ так, что $P_1A \cdot AP_2$ минимально.
Зафиксируем $\ell_1$ и применим к $\ell_2$ гомотетию с центром $A$, после которой $A$ будет равноудалена от $\ell_1$ и $\ell_2$. Все произведения $P_1A \cdot AP_2$ умножатся на одно и тоже число, поэтому искомая прямая не изменится. Пусть $\ell_1$ и $\ell_2$ пересекаются в точке $C$, а перпендикуляр к $CA$ в точке $A$ пересекает $\ell_1$ и $\ell_2$ в точках $Q_1$ и $Q_2$ соответственно. Треугольник $CQ_1Q_2$ равнобедренный, а $A$ – середина $Q_1Q_2$.
Докажем, что искомая прямая – это либо $Q_1Q_2$, либо $AC$. Пусть $m$ – прямая через $A$, пересекающая $\ell_1$ и $\ell_2$ в точках $P_1$ и $P_2$ соответственно. Без ограничения общности есть два случая.
В первом $P_1$ лежит на отрезке $CQ_1$, а $P_2$ лежит на продолжении $CQ_2$ за точку $Q_2$. Поскольку $\angle P_1P_2Q_2 < \angle AQ_2C = \angle P_1Q_1Q_2$, то точка $Q_1$ лежит внутри окружности $(P_1P_2Q_2)$, а значит, $Q_1A \cdot AQ_2 < P_1A \cdot AP_2$.
Во втором случае $P_1$ лежит на отрезке $CQ_1$, а $P_2$ лежит на продолжении $CQ_2$ за точку $C$. Поскольку $\angle P_1P_2C < \angle P_1CA$, то окружность $P_1CP_2$ пересекает отрезок $CA$, а значит, $CA^2 < P_1A \cdot AP_2$.
Для построения искомой прямой нужно сделать циркулем и линейкой инверсию и гомотетию, выбрать из величин $Q_1A \cdot AQ_2$ и $CA^2$ наименьшую, и провести соответствующую прямую.
