Задача 67127
|
|
 |
Условие
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Общие внешние касательные к окружностям $ABC$ и $ACD$ пересекаются в точке $E$, к окружностям $ABD$ и $BCD$ – в точке $F$. Докажите, что если точка $F$ лежит на прямой $AC$, то точка $E$ лежит на прямой $BD$.Решение
Точка $F$ является центром внешней гомотетии окружностей $ABD$ и $BCD$, а значит, и центром инверсии, переводящей эти окружности друг в друга. Эта инверсия оставляет точки $B$ и $D$ на месте, а точки $A$ и $C$ переставляет, следовательно, $AB=\frac{BC\cdot FB}{FC}$, $AD=\frac{CD\cdot FD}{FC}$ и $AB\cdot CD=AD\cdot BC$. Пусть теперь прямая $EB$ пересекает дугу $ADC$ в точке $D'$. Тогда аналогично получаем, что $AD'\cdot BC=CD'\cdot AB$. Поскольку на дуге $ADC$ существует единственная точка с таким свойством, то $D'$ совпадает с $D$ и точки $B$, $D$, $E$ лежат на одной прямой.
