Задача 67133

Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Точка Торричелли ] [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Эрднигор А.

Дан центрально-симметричный октаэдр $ABCA'B'C'$ (пары $A$ и $A'$, $B$ и $B'$, $C$ и $C'$ противоположны), такой, что суммы плоских углов при каждой из вершин октаэдра равны $240^{\circ}$. В треугольниках $ABC$ и $A'BC$ отмечены точки Торричелли $T_1$ и $T_2$. Докажите, что расстояния от $T_1$ и $T_2$ до $BC$ равны.

Решение

Пусть $D$ – вершина параллелограмма $AB'CD$. Тогда грани тетраэдра $ABCD$ равны граням октаэдра и суммы четырех углов, под которыми видны два противоположных ребра тетраэдра (например, $\angle CAD+\angle CBD+\angle ACB+\angle ADB$) равны $240^{\circ}$. Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – точки касания вписанной в тетраэдр сферы с гранями $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$ соответственно. Тогда треугольники $A_1BC$ и $D_1BC$ равны, как и пять аналогичных пар треугольников. Следовательно, $$\angle BD_1C+\angle BA_1C=\angle BAC+\angle ABD_1+\angle ACD_1+\angle BDC+\angle DCA_1+\angle DBA_1=$$ $$=\angle BAC+\angle BDC+\angle ABC_1+\angle ACB_1+\angle DCB_1+\angle DBC_1=240^{\circ}$$ и $\angle BD_1C=\angle BA_1C=120^{\circ}$. Аналогично $\angle AD_1B=\angle AD_1C=\angle BA_1C=\angle BA_1D=120^{\circ}$, т.е. точки $A_1$, $D_1$ совпадают с точками Торричелли, откуда, очевидно, следует утверждение задачи.

Замечания

Тетраэдры, у которых точки Торричелли граней совпадают с точками касания вписанной сферы, называются изогональными или жергонновыми. Известно, что в таких тетраэдрах отрезки, соединяющие вершины с точками Торричелли противоположных граней, пересекаются в одной точке, а произведения косинусов половин двугранных углов при противоположных ребрах равны. Утверждение задачи дает еще одно характеристическое свойство жергонновых тетраэдров.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
класс
Класс	10
задача
Номер	10.8