Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67133
Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Точка Торричелли ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан центрально-симметричный октаэдр ABCABC (пары A и A, B и B, C и C противоположны), такой, что суммы плоских углов при каждой из вершин октаэдра равны 240. В треугольниках ABC и ABC отмечены точки Торричелли T1 и T2. Докажите, что расстояния от T1 и T2 до BC равны.

Решение

Пусть D – вершина параллелограмма ABCD. Тогда грани тетраэдра ABCD равны граням октаэдра и суммы четырех углов, под которыми видны два противоположных ребра тетраэдра (например, CAD+CBD+ACB+ADB) равны 240. Пусть A1, B1, C1, D1 – точки касания вписанной в тетраэдр сферы с гранями BCD, CDA, DAB, ABC соответственно. Тогда треугольники A1BC и D1BC равны, как и пять аналогичных пар треугольников. Следовательно, BD1C+BA1C=BAC+ABD1+ACD1+BDC+DCA1+DBA1= =BAC+BDC+ABC1+ACB1+DCB1+DBC1=240 и BD1C=BA1C=120. Аналогично AD1B=AD1C=BA1C=BA1D=120, т.е. точки A1, D1 совпадают с точками Торричелли, откуда, очевидно, следует утверждение задачи.

Замечания

Тетраэдры, у которых точки Торричелли граней совпадают с точками касания вписанной сферы, называются изогональными или жергонновыми. Известно, что в таких тетраэдрах отрезки, соединяющие вершины с точками Торричелли противоположных граней, пересекаются в одной точке, а произведения косинусов половин двугранных углов при противоположных ребрах равны. Утверждение задачи дает еще одно характеристическое свойство жергонновых тетраэдров.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2022
класс
Класс 10
задача
Номер 10.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .