ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67136
Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Gabor Damasdi

В маленьком доме в Португалии пол выложен из четырёхугольных плиток одинаковой формы и размера (см. рис.). Найдите все четыре угла плитки. Ответ дайте в градусах.


Решение

В центре мозаики 6 одинаковых углов с общей вершиной образуют полный угол, значит, каждый из них равен 360 : 6 = 60.

Несколько правее полный угол в 360 складывается из уже известного нам угла 60 и ещё двух равных между собой — следовательно, они составляют по 150.

Аналогичным образом вычисляестя ещё один угол: он равен (360 − 150) : 2 = 105.

Последний угол плитки можно вычислить, зная сумму углов четырёхугольника, либо же с помощью ещё одной вершины мозаики: (360 − 150 − 2 · 60) : 2 = 45. Таким образом, углы плитки равны 45, 60, 105 и 150.

Комментарии.

1) Заметим также, что такую плитку одна из диагоналей делит на равносторонний и прямоугольный равнобедренный треугольники.

2) Разбиение плоскости на многоугольники без дырок и наложений называется замощением. Замощения бывают как периодические (есть два разных направления, при сдвиге в каждом из которых замощение совмещается само с собой) и непериодические (таких сдвигов нет). В задаче приведена часть непериодического замощения плоскости такими четырехугольными плитками, которое придумал Gábor Damásdi. Но такими четырехугольниками можно замостить плоскость и периодически (придумайте, как — комментарий 1 поможет). А бывает ли многоугольник, которым можно замостить плоскость только непериодически? Это не известно!

Ответ

45, 60, 105 и 150.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2022
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .