|
|
 |
Условие
Таня взяла список из ста чисел 1, 2, 3, . . . , 100 и вычеркнула несколько из них. Оказалось, что какие бы два числа из оставшихся Таня ни взяла в качестве $a$ и $b$, уравнение $x^2 + ax + b=0$ имеет хотя бы один действительный корень. Какое наибольшее количество чисел могло остаться не вычеркнутым?Решение
Уравнение $x^2 +ax+b = 0$ имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D = a^2 - 4b$ неотрицателен. Значит, любые два из оставшихся чисел должны удовлетворять неравенству $a^2 \geqslant 4b$.И вот тут самая важная мысль: чем меньше мы возьмём $a$ и чем больше мы возьмём $b$, тем «сложнее» этому неравенству будет выполняться! Другими словами, если оно выполняется, когда a — наименьшее из чисел, а b — наибольшее, то и для любых пар чисел оно будет выполняться.
Пусть $m$ — наименьшее из выбранных чисел, а $M$ — наибольшее. Мы доказали неравенство $m^2 \geqslant 4M$ . Дальше решение можно заканчивать по разному. Покажем один из
путей. Если $M=100$, то $m^2 \geqslant 400$ и $m \geqslant 20$ — таким образом, можно оставить 81 число:
от 20 до 100. Предположим, что чисел больше 81. Тогда $M > m + 80$, $m < 20$ и для уравнения $x^2 + mx +M =0$
$$ D = m^2 -4M < m^2 - 4(m+80) = m^2 -4m -320 = (m-2)^2 - 324 \leqslant 17^2 -324 < 0$$
значит, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, чисел не может быть больше 81.
