Задача 67144

Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Пятиугольник $ABCDE$ описан около окружности. Углы при его вершинах $A$, $C$ и $E$ равны $100^\circ$. Найдите угол $ACE$.

Решение

Решение 1. Прямые, соединяющие вершины с центром $O$ вписанной окружности $\omega$, являются биссектрисами углов пятиугольника. Поэтому $\angle OAE = \angle OEA = 50^{\circ}, \angle AOE = 80^{\circ}$. Пусть $\omega$ касается сторон $BC$ и $AE$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Тогда $\angle OCK = 50^{\circ}$, и прямоугольные треугольники $OMA$, $OKC$ и $OME$ равны по катету и острому углу. Значит, $OA = OC = OE$, т. е. точки $A$, $C$ и $E$ лежат на окружности с центром $O$.

Решение 2. Так как углы $A$, $C$, $E$ равны, все касательные к окружности из этих вершин равны. Поскольку касательные из вершины B тоже равны, треугольник $ABC$ равнобедренный, и треугольник $CDE$ тоже (аналогично). Сумма углов $B$ и $D$ равна $540^\circ – 3\cdot 100^\circ = 240^\circ$, поэтому $\angle ACB + \angle ECD = (2\cdot180^\circ – 240^\circ):2 = 60^\circ$, а $\angle ACE = 100^\circ – 60^\circ = 40^\circ$.

Ответ

$40^\circ$.

Замечания

Несложно понять, что такой пятиугольник существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	44
Дата	2022/23
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	3