Условие
Петя прибавил к натуральному числу N натуральное число M и заметил, что сумма цифр у результата та же, что и у N. Тогда он снова прибавил M к результату, потом – ещё раз, и т. д. Обязательно ли он когда-нибудь снова получит число с той же суммой цифр, что и у N?
Решение
Пример. Пусть N = 2, M = 1008. Число M кратно 16, поэтому все полученные Петей числа дают остаток 2 по модулю 16. Число с суммой цифр 2 представляется как сумма двух степеней десятки. Степени 1, 10, 10² и 10³ дают остатки 1, 10, 4 и 8 при делении на 16, остальные степени кратны 16. Остаток 2 можно получить лишь двумя способами: 1 + 1 или 10 + 8, они соответствуют числам 2 и 1010. Значит, других чисел с суммой цифр 2 Петя получить не сможет.
Ответ
не обязательно.
Источники и прецеденты использования
