Условие
Какой наибольший рациональный корень может иметь уравнение вида
$aх^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ – натуральные числа, не превосходящие 100?
Решение
Заметим, что $-\frac{1}{99}$ – корень уравнения $99x^2 + 100x + 1 = 0$.
Докажем максимальность. Ясно, что корень x такого уравнения, как в условии, отрицателен. Пусть $|x| < \frac{1}{99}$. Тогда знаменатель $q$ несократимой дроби $|x|$ больше $99$. Но, как известно, $q$ – делитель старшего коэффициента $a$, то есть он не больше $100$. Значит, $q = 100$, а $|x| = 0,01$. Следовательно, $ax^2 + bx + c > 0 - 100 \cdot 0,01 + 1 = 0$. Противоречие.
Ответ
$-\frac{1}{99}$
Источники и прецеденты использования
