Задача 67161

Темы:    [ Концентрические окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Кухарчук И.

Даны две концентрические окружности $\Omega$ и $\omega$. Хорда $AD$ окружности $\Omega$ касается $\omega$. Внутри меньшего сегмента $AD$ круга с границей $\Omega$ взята произвольная точка $P$. Касательные из $P$ к окружности $\omega$ пересекают большую дугу AD окружности $\Omega$ в точках $B$ и $C$. Отрезки $BD$ и $AC$ пересекаются в точке $Q$. Докажите, что отрезок $PQ$ делит отрезок $AD$ на две равные части.

Решение

Пусть $O$ – центр окружностей, $AD$ касается $\omega$ в точке $Z$, а $PB$ и $PC$ касаются $\omega$ в точках $X$ и $Y$ и пересекают $AD$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Точки $A$ и $D$ симметричны относительно $OZ$, поэтому $Z$ — середина $AD$.

Касательные $PX$ и $PY$ симметричны относительно $PO$, значит, $XY \parallel BC$. Аналогично $XZ \parallel BD$, $ZY \parallel AC$. Рассмотрим гомотетию с центром $P$, переводящую отрезок $BC$ в $XY$. Она переводит точку пересечения $Q$ прямых $BD$ и $AC$ в точку пересечения параллельных им прямых $XZ$ и $YZ$, то есть в точку $Z$. Следовательно, точки $P$, $Z$ и $Q$ лежат на одной прямой, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	44
Дата	2022/23
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3