Задача 67180
|
|
 |
Условие
Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи есть только нули и единицы. Пусть произведение двух хороших чисел оказалось хорошим числом. Правда ли, что тогда сумма цифр произведения равна произведению сумм цифр сомножителей? (В 44-м Турнире городов задача предлагалась в эквивалентной формулировке: хорошие числа были названы заурядными)
Решение
Рассмотрим произведение двух хороших чисел $$ (10^2+10^4+10^8+\ldots+10^{1024})\times (10^{N-2}+10^{N-4}+10^{N-8}+\ldots+10^{N-1024}), $$ где $N$ — большое чётное число (например, миллион). Когда мы раскроем все скобки, то получим много слагаемых, каждое из которых — степень числа $10$. Если бы все слагаемые были разными, мы получили бы хорошее число с суммой цифр, равной произведению сумм цифр исходных чисел. Посмотрим, получились ли какие-то слагаемые одинаковыми. Если $10^a \cdot 10^{N-b}=10^x \cdot 10^{N-y}$, где $x \neq a$, то $a+N-b=x+N-y$, откуда $a+y=b+x$. Так как $a, b, x, y$ — степени двойки, равенство возможно лишь в случае $a=b$, $x=y$. Значит, у нас будет $10$ совпавших слагаемых, равных $10^N$, в сумме они дадут $10^{N+1}$.Заметим, что никакие другие слагаемые не равны $10^{N+1}$, так как у всех слагаемых показатель степени чётный.
Поэтому сумма слагаемых будет хорошим числом, но сумма его цифр будет на $9$ меньше, чем произведение сумм цифр исходных чисел.
