Задача 67180

Тема:    [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Авторы: Кноп К.А., Клепцын В.А.

Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи есть только нули и единицы. Пусть произведение двух хороших чисел оказалось хорошим числом. Правда ли, что тогда сумма цифр произведения равна произведению сумм цифр сомножителей?

(В 44-м Турнире городов задача предлагалась в эквивалентной формулировке: хорошие числа были названы заурядными)

Решение

Рассмотрим произведение двух хороших чисел $$({10}^2+{10}^4+{10}^8+\dots +{10}^{1024})\times ({10}^{N-2}+{10}^{N-4}+{10}^{N-8}+\dots +{10}^{N-1024}),$$ где $N$ — большое чётное число (например, миллион). Когда мы раскроем все скобки, то получим много слагаемых, каждое из которых — степень числа $10$. Если бы все слагаемые были разными, мы получили бы хорошее число с суммой цифр, равной произведению сумм цифр исходных чисел. Посмотрим, получились ли какие-то слагаемые одинаковыми. Если $10^a \cdot 10^{N-b}=10^x \cdot 10^{N-y}$, где $x \neq a$, то $a+N-b=x+N-y$, откуда $a+y=b+x$. Так как $a, b, x, y$ — степени двойки, равенство возможно лишь в случае $a=b$, $x=y$. Значит, у нас будет $10$ совпавших слагаемых, равных $10^N$, в сумме они дадут $10^{N+1}$.

Заметим, что никакие другие слагаемые не равны $10^{N+1}$, так как у всех слагаемых показатель степени чётный.

Поэтому сумма слагаемых будет хорошим числом, но сумма его цифр будет на $9$ меньше, чем произведение сумм цифр исходных чисел.

Ответ

не обязательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	86
Год	2023
класс
Класс	8
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	44
Дата	2022/23
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	3