ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67180
Тема:    [ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи есть только нули и единицы. Пусть произведение двух хороших чисел оказалось хорошим числом. Правда ли, что тогда сумма цифр произведения равна произведению сумм цифр сомножителей?

(В 44-м Турнире городов задача предлагалась в эквивалентной формулировке: хорошие числа были названы заурядными)

Решение

Рассмотрим произведение двух хороших чисел $$ (10^2+10^4+10^8+\ldots+10^{1024})\times (10^{N-2}+10^{N-4}+10^{N-8}+\ldots+10^{N-1024}), $$ где $N$ — большое чётное число (например, миллион). Когда мы раскроем все скобки, то получим много слагаемых, каждое из которых — степень числа $10$. Если бы все слагаемые были разными, мы получили бы хорошее число с суммой цифр, равной произведению сумм цифр исходных чисел. Посмотрим, получились ли какие-то слагаемые одинаковыми. Если $10^a \cdot 10^{N-b}=10^x \cdot 10^{N-y}$, где $x \neq a$, то $a+N-b=x+N-y$, откуда $a+y=b+x$. Так как $a, b, x, y$ — степени двойки, равенство возможно лишь в случае $a=b$, $x=y$. Значит, у нас будет $10$ совпавших слагаемых, равных $10^N$, в сумме они дадут $10^{N+1}$.

Заметим, что никакие другие слагаемые не равны $10^{N+1}$, так как у всех слагаемых показатель степени чётный.

Поэтому сумма слагаемых будет хорошим числом, но сумма его цифр будет на $9$ меньше, чем произведение сумм цифр исходных чисел.

Ответ

не обязательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 86
Год 2023
класс
Класс 8
задача
Номер 4
олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 44
Дата 2022/23
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .