На клетки шахматной доски положили рисовые зёрнышки. Количества зёрнышек на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличались ровно
на 1. При этом на одной из клеток доски лежало три зёрнышка, а на другой – 17 зёрнышек. Петух склевал все зёрнышки с одной из главных диагоналей доски, а курица – с другой. Сколько зёрен досталось петуху и сколько курице?

   Решение

Темы:    [ Обратные тригонометрические функции ] [ Взвешивания ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны $\operatorname{arctg} 1$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{3}$, $\ldots$, $\operatorname{arctg}\frac{1}{50}$. Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.

Решение

Сначала покажем, что в данном наборе есть тройки гирь, одна из которых уравновешивает две другие. Все веса не превосходят $\pi/4$, поэтому равенство $$ \operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg} \frac{1}{n}+\operatorname{arctg} \frac{1}{m}\right)=\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg} \frac{1}{k}\right) $$ равносильно равенству $\operatorname{arctg} \frac{1}{n}+\operatorname{arctg} \frac{1}{m}=\operatorname{arctg} \frac{1}{k}.$

Воспользовавшись формулой $\operatorname{tg}(x+y)=\frac{\operatorname{tg} x+\operatorname{tg} y}{1-\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y},$ получим $$ \frac{n+m}{n m-1}=\frac{1}{k}, $$ т.е. $nm-k(n+m)=1$. Добавив в этом равенстве к обеим частям $k^{2}$ и разложив на множители, получим $(n-k)(m-k)=k^{2}+1$. Выбирая теперь различные натуральные $k$ и раскладывая $k^{2}+1$ на множители, найдём подходящие тройки, в которых каждое число не превосходит 50. Результат для $k\leqslant5$ и $n< m$ представлен в следующей таблице:

$k$	1	2	3	4	5
$(n, m)$	$(2,3)$	$(3,7)$	$(4,13)$	$(5,21)$	$(6,31)$
			$(5,8)$		$(7,18)$

Теперь покажем, как разложить гири по чашам:

1-я чаша		2-я чаша
1	=	2,3
5,21	=	4
6,31	=	7,18

(указанному в таблице значению $n$ соответствует гиря весом $\operatorname{arctg} \frac{1}{n})$.

Таким образом, нам удалось выбрать 10 гирь и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.

Источники и прецеденты использования