Задача 67210

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Кухарчук И.

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. На сторонах $AD$ и $CD$ взяты точки $E$ и $F$ так, что $AE=BC$ и $AB=CF$. Пусть $M$ – середина $EF$. Докажите, что угол $AMC$ прямой.

Решение 1

Построим параллелограмм $ABCU$. Точки $E$, $F$ симметричны $U$ относительно биссектрис углов $BAD$, $BCD$ соответственно. Поскольку $\angle AUC+\angle ADC=180^{\circ}$, эти биссектрисы перпендикулярны. Следовательно, треугольник $UEF$ прямоугольный, а биссектрисы пересекаются в центре описанной около него окружности – точке $M$.

Решение 2

В пятиугольнике $ABCFE$ $\angle A+\angle C=180^{\circ}$, значит, $\angle B+\angle E+\angle F=360^{\circ}$. Отложим от произвольной точки $U$ отрезки $UX=AB=CF$, $UY=BC=AE$, $UZ=ME=MF$ так, что $\angle XUY=\angle B$, $\angle YUZ=\angle E$, $\angle ZUX=\angle F$. Тогда треугольники $UXY$, $UYZ$, $UZX$ и $XYZ$ равны соответственно треугольникам $BAC$, $EMA$, $FMC$ и $ACM$, следовательно, $\angle AMC=\angle AME+\angle CMF=90^{\circ}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
Заочный тур
задача
Номер	5 [8 кл]