Условие
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Точки $X$ и $Y$ лежат на продолжениях за точку $D$ сторон $CD$ и $AD$ соответственно, причем $DX=AB$ и $DY=BC$. Аналогично, точки $Z$ и $T$ лежат на продолжениях за точку $B$ сторон $CB$ и $AB$, причем $BZ=AD$ и $BT=DC$. Пусть $M_1$ – середина $XY$, $M_2$ – середина $ZT$. Докажите, что прямые $DM_1$, $BM_2$ и $AC$ пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть $DM_1$ пересекает $AC$ в точке $P$. Тогда $\sin\angle ADP:\sin\angle CDP=\sin\angle YDM:\sin\angle XDM=XD:YD=AB:BC$. Следовательно, $AP:CP=(AB\cdot AD):(CB\cdot CD)$. Такое же отношение получаем для точки пересечения $AC$ с прямой $BD_2$.
Источники и прецеденты использования
