Задача 67262

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Индукция (прочее) ] [ Предел последовательности, сходимость ] [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Бесконечные возрастающие арифметические прогрессии $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ и $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ состоят из положительных чисел. Известно, что отношение $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ целое при любом $k$. Верно ли, что это отношение не зависит от $k$?

Решение 1

Пусть $a_{k}=a+c k, \quad b_{k}=b+d k$. Тогда $\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{a_{k}}{b_{k}}=\frac{c}{d}$. Но целочисленная последовательность может иметь пределом только целое число, причём все её члены с какого-то момента должны совпадать с этим пределом. Значит, $m=\frac{c}{d}$ — целое число и $\frac{a+c k}{b+d k}=\frac{c}{d}$ при всех достаточно больших $k$. Но тогда $a d=b c$, то есть $a=b m$, и поскольку $c=d m$, получаем, что $\frac{a_{k}}{b_{k}}=m$ при всех $k$.

Решение 2

Для положительных чисел $p, q, r, s$ воспользуемся следующим фактом: если $\frac{p}{q} < \frac{r}{s}$, то $\frac{p}{q} < \frac{p+r}{q+s} < \frac{r}{s}$ (легко проверить). Используем обозначения решения 1. Доопределим $a_{0}=a, \quad b_{0}=b$. Предположим, что $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$. Докажем индукцией по $k \geq 0$, что $\frac{a_{k}}{b_{k}} < \frac{a_{k+1}}{b_{k+1}}<\frac{c}{d}$. База $k=0$ получается применением указанного факта к неравенству $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$, а переход от $k$ к $k+1$ — применением факта к неравенству $\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}}<\frac{c}{d}$. Тогда последовательность $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ целых чисел возрастает, оставаясь ограниченной сверху. Противоречие. Аналогично к противоречию ведёт предположение $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$. Значит, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, а тогда и $\frac{a_{k}}{b_{k}}=\frac{c}{d}$.

Ответ

верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	44
Дата	2022/23
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4