Условие
Каждая из функций $f(x)$ и $g(x)$ определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой прямой?
Решение
Положим $F(x)=f(x)+g(x),\quad G(x)=f(x)-g(x)$. Тогда $f(x)=\frac{F(x)+G(x)}{2}$, $g(x)=\frac{F(x)-G(x)}{2}$. Пусть $F$ и $G$ строго возрастают (соответственно, строго убывают). Тогда $f$ как их полусумма строго возрастает (соответственно, строго убывает), что противоречит условию. Если же какая-то из функций $F$ и $G$ строго возрастает, а другая строго убывает, то обе функции $F$ и $-G$ строго возрастают или строго убывают. Следовательно, их полусумма $g$ строго монотонна – снова противоречие с условием.
Ответ
Нет.
Источники и прецеденты использования
