Условие
Существует ли описанный 2021-угольник, все вершины и центр вписанной окружности которого имеют целочисленные координаты?
Решение
Будем называть точку с рациональными координатами рациональной. Рассмотрим окружность $x^2+y^2=1$. Докажем, что на ней существует сколь угодно много рациональных точек. Рассмотрим прямую вида $y=kx+1$ с рациональным $k$. Она проходит через точку $(0,1)$ окружности, и вторая точка пересечения с окружностью тоже будет рациональной (поскольку квадратное уравнение $x^2+(kx+1)^2=1$ с рациональными коэффициентами имеет рациональный корень 0, второй корень также рационален).
Выбирая разные рациональные $k$, отметим на окружности 2021 рациональную точку, включая точки $(-1,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$, $(0,-1)$.
Через каждую из этих 2021 точек проведём касательную к окружности и отметим точки пересечения соседних касательных, получим описанный 2021-угольник (строго это можно обосновать, например, так: сначала получим описанный квадрат, проведя касательные в четырёх указанных точках, а затем по очереди проведём остальные касательные: каждая будет отсекать от уже имеющегося многоугольника треугольник, примыкающий к вершине).
Заметим, что уравнения касательных имеют рациональные координаты (поскольку касательные перпендикулярны прямым, соединяющим начало координат с рациональными точками касания). Точка пересечения прямых с рациональными координатами рациональна (как единственное решение системы линейных уравнений с рациональными коэффициентами).
Значит, вершины нашего 2021-угольника рациональны. Приведём координаты вершин к общему знаменателю $N$ и рассмотрим гомотетию с центром в начале координат и коэффициентом $N$. Она переведёт наш 2021-угольник в удовлетворяющий условию задачи.
Ответ
Существует.
Источники и прецеденты использования
