|
|
 |
Условие
В спорткомплексе 99 шкафчиков с номерами от 01 до 99. На браслете с ключом цифры написаны по образцу на рисунке:
По браслету непонятно, где низ, а где верх, и поэтому иногда нельзя однозначно определить номер своего шкафчика (например, браслеты, соответствующие номерам 10 и 01, выглядят одинаково). Мише выдали один из ключей. В скольких случаях из 99 он, посмотрев на браслет, не сможет однозначно определить номер своего шкафчика?
Решение
Решение 1. Назовём цифры 0, 1, 2, 5, 6, 8 и 9 особыми: 0, 1, 2, 5 и 8 при переворачивании переходят сами в себя, а 6 и 9 — друг в друга. Если в номерке есть хотя бы одна цифра из остальных — Миша уже сможет определить, какой шкафчик ему достался. Каждая особая цифра образует однозначно определяемый номерок ровно с одной из других особых цифр: 0, 1, 2, 5 и 8 — сами с собой, 6 и 9 — друг с другом. Значит, «неоднозначный» номер можно получить, выбрав 7 способами первую особую цифру, и 6 способами после этого выбрав вторую особую — всего 42 способа.
Решение 2. Назовём цифры 0, 1, 2, 5, 6, 8 и 9 особыми: 0, 1, 2, 5 и 8 при переворачивании переходят сами в себя, а 6 и 9 — друг в друга. Если в номерке есть хотя бы одна цифра из остальных — Миша уже сможет определить, какой шкафчик ему достался. Из двух особых цифр можно составить $7 \cdot 7 = 49$ номерков. Однако, номерка 00 не бывает, а номерки 11, 22, 55 и 88 при переворачивании перейдут сами в себя (а значит, шкафчик определить всё-таки можно); номерки 69 и 96 также при переворачивании перейдут сами в себя. В остальных случаях при переворачивании номерок перейдёт в другой. Значит, из 49 номерков нам нужно вычесть 7 — останется 42.
