|
|
 |
Условие
Правильный треугольник сложен из одинаковых прямоугольных (красных) и одинаковых равнобедренных (зелёных) треугольников так, как показано на рисунке. Чему равна площадь правильного треугольника, если площадь зелёного треугольника равна 1? При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
Решение
Решение 1. Левый нижний угол правильного треугольника складывается из двух равных углов равнобедренного треугольника — значит, углы зелёных треугольников равны $30^\circ$, $30^\circ$ и $120^\circ$. Верхний угол правильного треугольника совпадает с одним из углов прямоугольного — значит, углы красных треугольников равны $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$. Рассмотрим отдельно один красный и один зелёный треугольники. Проведём в красном треугольнике из вершины прямого угла отрезок под углом $30^\circ$, как на рисунке.
Этот отрезок отделяет от красного треугольника равнобедренный, равный зелёному по стороне и прилежащим к ней углам в $30^\circ$. Другая часть — треугольник с двумя углами $60^\circ$, то есть правильный, сторона которого при этом равна боковому ребру зелёного треугольника. Опустив высоты в этих треугольниках, получим маленькие треугольники с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ и равными гипотенузами.
Таким образом, каждый зелёный треугольник состоит из 2, а каждый красный — из 4 маленьких прямоугольных треугольников, то есть площадь красного треугольника в 2 раза больше зелёного и равна 2. Осталось посчитать треугольники: красных 7, зелёных 11, и их общая площадь равна $7 \cdot 2 + 11 = 25$.
Решение 2. Заметим, что нижняя сторона правильного треугольника складывается из гипотенузы красного и трёх боковых сторон зелёного треугольника, а левая сторона — из двух гипотенуз красного треугольника и бокового ребра зелёного. Значит, гипотенуза красного треугольника в два раза больше бокового ребра зелёного, а сторона большого правильного треугольника в 5 раз больше бокового ребра зелёного.
Нарисуем треугольную сетку так, чтобы вдоль стороны большого правильного треугольника помещалось ровно 5 маленьких. Заметим, что два зелёных треугольника в левом нижнем углу занимают ровно два треугольника сетки: боковые стороны зелёных треугольников равны сторонам треугольников сетки, а два угла при основании складываются в угол правильного треугольника. Значит, площадь двух треугольников сетки равна площади двух зелёных, и площадь одного треугольника сетки равна 1. Осталось посчитать, на сколько треугольников сетки разбит большой треугольник: на $25$.
Комментарий. Можно показать, что все вершины треугольников разбиения также лежат на треугольной сетке.
