Условие
В остроугольном треугольнике $ABC$ $CM$ – медиана, $P$ – проекция ортоцентра $H$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что $MP$ делит отрезок $CH$ пополам.
Решение
Пусть $E$ – середина $CH$. Тогда $CE=EH=EP$ и $\angle PEH=2\angle PCH=|\angle A-\angle B|$. Но точки $E$ и $M$ лежат на окружности девяти точек, поэтому $\angle MEH=\angle MND=|\angle A-\angle B|$, где $N$ – середина $BC$, а $D$ – основание высоты из $C$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
8.2 |
