Задача 67359

Тема:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

В остроугольном треугольнике $ABC$ $CM$ – медиана, $P$ – проекция ортоцентра $H$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что $MP$ делит отрезок $CH$ пополам.

Решение

Пусть $E$ – середина $CH$. Тогда $CE=EH=EP$ и $\angle PEH=2\angle PCH=|\angle A-\angle B|$. Но точки $E$ и $M$ лежат на окружности девяти точек, поэтому $\angle MEH=\angle MND=|\angle A-\angle B|$, где $N$ – середина $BC$, а $D$ – основание высоты из $C$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2024
класс
Класс	8
задача
Номер	8.2