Условие
Из картона вырезали два многоугольника. Может ли быть, что при любом их расположении на плоскости они либо имеют общие внутренние точки, либо пересекаются по конечному множеству точек?
Решение
Пусть один многоугольник – это восьмиугольник $A_1\ldots A_8$ такой, что $A_2A_4A_6A_8$ – квадрат, длины всех сторон равны и $\angle A_2A_1A_3>40^{\circ}$, а второй – правильный девятиугольник со стороной больше, чем $A_1A_3$ (см. рис).
Тогда, если у них есть общий отрезок границы, то он должен содержать одну из вершин $A_1$, $A_3$, $A_5$, $A_7$ восьмиугольника. Пусть этот общий отрезок – $A_1B$, где $B$ – точка на стороне $A_1A_2$. Поскольку внешний угол девятиугольника равен $40^{\circ}$, его сторона пересекает отрезок $A_2A_3$. Следовательно, у многоугольников есть общие внутренние точки.
Ответ
Да.
Замечания
Можно показать, что в приведенном примере суммарное количество сторон у двух многоугольников наименьшее.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
8.8 |
